Как найти прогиб балки методом начальных параметров?

Приветствую тебя, читатель рубрики — «сопромат для чайников» и достаточно популярного экспресс курса на сайте – sopromats.ru. Сегодня будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки. Как и любая другая статья для чайников, на нашем ресурсе, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В данной статье, речь пойдет, наверно, о самом простом методе определения прогиба балки при плоском изгибе. Данный метод называется методом начальных параметров. В методе используется универсальная формула, по которой с легкостью можно определить прогиб балки или же угол поворота любого поперечного сечения. Достаточно подставить в формулу «начальные параметры» и еще кое-что, о чем речь пойдет ниже.

Что такое прогиб балки?

Дело в том, что под действием внешней нагрузки, отдельные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещений называются прогибами. Сопромат позволяет нам определять прогиб балки, зная ее геометрические параметры: как ее длину, так и размеры поперечного сечения. Также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений поперечные сечения балки поворачиваются на определенный угол, каждый на свой. И эти величины также можно определить методами сопромата.

Прогибы балки, имеют большое значение. Так как по ним проводятся расчеты на жесткость. Задаются каким-то допустимым значением прогиба и сравнивают его с расчетным. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условия жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то нет. В этом случае, принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров, является достаточно универсальным методом. Где используется шаблонная формула, в которую нужно только правильно подставить значения.

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

  • в опорах прогибы равны нулю
  • в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю

Используя эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах. Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Универсальное уравнение метода, которое будем использоваться чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета. Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:

Учет внешней нагрузки

И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

  • Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:

  • Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
  • Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:

  • Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:

  • Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

где x – это расстояние от силы/момента/начала (конца) распределенной нагрузки до рассматриваемого сечения; 2!,3!,4! – это факториалы, которые вычисляются следующим образом:

Откуда такие цифры, степени, факториалы взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A:

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:Упрощаем уравнение:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что она изготовлена из стали и имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз:

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у Вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье.

Кстати! Рекомендую изучить другую мою статью, про метод начальных параметров, на втором сайте. Там представлен пример с консольной балкой.

комментариев 5

  1. Тимур:

    «Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:»????

  2. Maddoc:

    второе уравнение для сечения B мне кажется там со знаками q напутали маленько если отсчет ведется с левого конца, проверьте плз. очень нужный материал.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *