Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил

Привет! Меня зовут Константин Вавилов и в этой статье я рассказу об условиях, при которых любая система сил, твердое тело, элемент конструкции или конструкция в целом находится в равновесии. А также напишу про уравнения равновесия, которые вытекают из этих условий. Рассмотрим три основные формы этих уравнений.

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

  • либо находится в состоянии покоя;
  • либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

\[ \bar { { R }_{ 1 } } +\bar { { R }_{ 2 } } +\bar { { R }_{ 3 } } +\bar { { R }_{ n } } =\bar { R } \]

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

\[ \bar { R } =0 \]

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

\[ \bar { M } =0 \]

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Из данного условия следует, что для равновесия системы достаточно равенство нулю суммы моментов относительно двух точек (A и B), а также суммы проекций всех сил относительно некоторой оси.

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

Данную форму условий равновесия выгодно использовать при расчете плоских статически определимых балок.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣM }_{ С }=0 \end{cases} \]

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Составление уравнений равновесия для плоской балки

Сумма моментов относительно точки A:

\[ { ΣM }_{ A }=-q\cdot 4\cdot 4-M+{ R }_{ B }\cdot 8=0 \]

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

\[ { ΣF }_{ ky }=-q\cdot 4+{ R }_{ A }+{ R }_{ B }-F=0 \]

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

\[ { ΣF }_{ kx }={ H }_{ A }=0 \]

Рекомендую изучить статью про определение реакций опор, которые рассчитываются с помощью уравнений равновесия.

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

\[ \begin{cases} \begin{matrix} { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \\ { ΣF }_{ kz }=0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} { ΣM }_{ x }=0 \\ { ΣM }_{ y }=0 \\ { ΣM }_{ z }=0 \end{matrix} \end{cases} \]

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

Составление уравнений равновесия для пространственной рамы

\[ { ΣF }_{ kx }=F=0 \]

\[ { ΣF }_{ ky }=P=0 \]

\[ { ΣF }_{ kz }=T-G=0 \]

\[ { ΣM }_{ x }=-T\cdot b+G\cdot b=0 \]

\[ { ΣM }_{ y }=-T\cdot a+G\cdot (a+c)=0 \]

\[ { ΣM }_{ z }=P\cdot a=0 \]

комментария 2

  1. Сергей:

    Здравствуйте, а если сила направлена вдоль отрезка «с» в сторону ее конца, то как будет выглядеть уравнение моментов Мz?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить