Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

• либо находится в состоянии покоя;
• либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

\[ \bar { { R }_{ 1 } } +\bar { { R }_{ 2 } } +\bar { { R }_{ 3 } } +\bar { { R }_{ n } } =\bar { R } \]

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

\[ \bar { R } =0 \]

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

\[ \bar { M } =0 \]

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣM }_{ B }=0 \\ { ΣM }_{ С }=0 \end{cases} \]

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

\[ \begin{cases} { ΣM }_{ A }=0 \\ { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \end{cases} \]

Сумма моментов относительно точки A:

\[ { ΣM }_{ A }=-q\cdot 4\cdot 4-M+{ R }_{ B }\cdot 8=0 \]

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

\[ { ΣF }_{ ky }=-q\cdot 4+{ R }_{ A }+{ R }_{ B }-F=0 \]

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

\[ { ΣF }_{ kx }={ H }_{ A }=0 \]

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

\[ \begin{cases} \begin{matrix} { ΣF }_{ kx }=0 \\ { ΣF }_{ ky }=0 \\ { ΣF }_{ kz }=0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} { ΣM }_{ x }=0 \\ { ΣM }_{ y }=0 \\ { ΣM }_{ z }=0 \end{matrix} \end{cases} \]

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

\[ { ΣF }_{ kx }=F=0 \]

\[ { ΣF }_{ ky }=P=0 \]

\[ { ΣF }_{ kz }=T-G=0 \]

\[ { ΣM }_{ x }=-T\cdot b+G\cdot b=0 \]

\[ { ΣM }_{ y }=-T\cdot a+G\cdot (a+c)=0 \]

\[ { ΣM }_{ z }=P\cdot a=0 \]