Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.
Что нужно знать для успешного освоения материалов данного урока? Обязательно нужно уметь строить эпюры изгибающих моментов, т.к. в этой статье будем работать с данной эпюрой.
Верещагин и его метод, правило или способ
А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть как линейной, так и параболической. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем неважно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:
\({ V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \omega }_{ C }\cdot { \overline { M } }_{ C } \)
Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C — центр тяжести первой эпюры, ωс — площадь первой эпюры, Mc — ордината второй эпюры под центром тяжести первой.
Площадь и центр тяжести эпюр
При использовании метода Верещагина берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.
Любой самый сложный участок эпюры можно расслоить на три простейшие фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.
Поэтому именно с этими фигурами будем дальше работать. Напомню, как вычислить их площадь и где у них находится центр тяжести. Все формулы и размеры оформил в виде таблицы:
Перемножение простейших эпюр по Верещагину
В этом блоке статьи покажу простейшие случаи перемножения эпюр по Верещагину.
Прямоугольник на прямоугольник
\( { V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot c } \)
Прямоугольник на треугольник
\( { V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ b\cdot h\cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)
Треугольник на прямоугольник
\( { V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { 1 }{ 2 } \cdot b\cdot h\cdot c } \)
Параболический сегмент на прямоугольник
\( { V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot c } \)
Параболический сегмент на треугольник
\( { V={ M }_{ F } }\cdot \overline { M } ={ \frac { q\cdot { l }^{ 3 } }{ 12 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot c } \)
Расслоение эпюр на простые фигуры
В этом блоке статьи покажу способы расслоения эпюр на простые фигуры, для дальнейшего их перемножения по правилу Верещагина.
Прямоугольник и треугольник
Два треугольника
Два треугольника и параболический сегмент
Треугольник, прямоугольник и параболический сегмент
Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину
Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.
Построение эпюры изгибающих моментов
В первую очередь рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:
Построение единичных эпюр
Теперь для каждого искомого перемещения необходимо приложить единичную нагрузку в ту точку, где это перемещение определяется и построить единичные эпюры:
- для прогибов прикладываются единичные силы.
- для углов поворотов прикладываются единичные моменты.
Все прикладываемые нагрузки являются безразмерными величинами. Причем, направление этих нагрузок неважно! Расчет покажет верное направление перемещений.
Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой единичной силы. То же самое касается и углов поворотов.
Перемножение участков эпюры по Верещагину
После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.
Определение прогиба сечения С
Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора — Верещагина:
\[ { V }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2+\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 2\cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot 2)=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } \]
Представим, что рассчитываемая балка имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:
\[ { V }_{ C }=\frac { 20кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ x } } =\frac { 20\cdot { 10 }^{ 9 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =0.289см \]
Определение угла поворота сечения С
Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора — Верещагина:
\[ { \theta }_{ C }=\frac { 1 }{ E{ I }_{ x } } (-\frac { 1 }{ 2 } \cdot 6\cdot 3\cdot \frac { 1 }{ 3 } \cdot 1)=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } \]
\[ { { \theta } }_{ C }=-\frac { 3кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ x } } =-\frac { 3\cdot { 10 }^{ 7 }Н\cdot { см }^{ 3 } }{ 2\cdot { 10 }^{ 7 }\frac { Н }{ { см }^{ 2 } } \cdot 3460{ см }^{ 4 } } =-0.0004рад \]
Помогите, пожалуйста, решить задачу. По имеющейся эпюре изгибающих моментов в изогнутой балке для данной точки по длине требуется определить необходимое количество материала балки при его известном расчетном сопротивлении.